母數為
n
,
p
{\displaystyle \,n,p\,}
的二項式分布的期望值為
n
p
{\displaystyle \,np\,}
，變異數為
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \,np(1-p)\,}
。其機率母函數為
G
(
z
)
=
(
1
−
p
+
p
z
)
n
,
{\displaystyle G(z)=(1-p+pz)^{n},}
動差母函數為
M
X
(
t
)
=
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
,
{\displaystyle M_{X}(t)=(1-p+pe^{t})^{n},}
特徵函數為
φ
X
(
t
)
=
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
.
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-p+pe^{it})^{n}.}
[3][11]
母數
n
=
1
{\displaystyle \,n=1\,}
的二項式分布稱作伯努利分布[3]。多項分布（英語：Multinomial distribution）是二項式分布的拓展，描述重複進行不限於兩種結果、可能有多種可能結果的隨機試驗時的機率[12]。二項式分布本身是超幾何分布的極限形式。[13]
二項式分布的和
編輯
若
X
1
,
X
2
{\displaystyle \,X_{1},X_{2}\,}
兩個隨機變數獨立，分別服從母數為
n
1
,
p
{\displaystyle \,n_{1},p\,}
和
n
2
,
p
{\displaystyle \,n_{2},p\,}
的二項式分布，則
X
1
+
X
2
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}
即是在
n
1
+
n
2
{\displaystyle \,n_{1}+n_{2}\,}
次獨立伯努利試驗中取得成功的次數，所以
X
1
+
X
2
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}
服從母數為
n
1
+
n
2
,
p
{\displaystyle \,n_{1}+n_{2},p\,}
的二項式分布。這一結論亦可通過將兩者的機率母函數相乘而得出。在條件
X
1
+
X
2
=
k
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}=k\,}
之下，隨機變數
X
1
{\displaystyle \,X_{1}\,}
的條件機率分布是母數為
k
,
n
1
,
n
1
+
n
2
{\displaystyle \,k,n_{1},n_{1}+n_{2}\,}
的超幾何分布。[14]
眾數
編輯
計算
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
和
Pr
(
X
=
k
+
1
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k+1)\,}
的比值可以得到
Pr
(
X
=
k
+
1
)
Pr
(
X
=
k
)
=
(
n
−
k
)
p
(
k
+
1
)
(
1
−
p
)
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
)
,
{\displaystyle {\frac {\Pr(X=k+1)}{\Pr(X=k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}\quad (k=0,1,\ldots ,n-1),}
因此，當
k
<
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,k<(n+1)p-1\,}
時，
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
隨
k
{\displaystyle \,k\,}
增加而上升；當
k
>
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,k>(n+1)p-1\,}
時，
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
隨
k
{\displaystyle \,k\,}
增加而下降。故二項式分布的眾數為
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
的下取整
⌊
(
n
+
1
)
p
⌋
{\displaystyle \,\lfloor (n+1)p\rfloor \,}
。若
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
本身是整數，則
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
和
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,(n+1)p-1\,}
均是眾數。若
p
<
(
n
+
1
)
−
1
{\displaystyle \,p<(n+1)^{-1}\,}
，則眾數為
0
{\displaystyle \,0\,}
。[15]
中位數
編輯
二項式分布的中位數
m
{\displaystyle \,m\,}
位於
n
p
{\displaystyle \,np\,}
的上下取整之間，即
⌊
n
p
⌋
≤
m
≤
⌈
n
p
⌉
{\displaystyle \,\lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil \,}
；若
n
p
{\displaystyle \,np\,}
為整數，則中位數
m
=
n
p
{\displaystyle \,m=np\,}
。中位數
m
{\displaystyle \,m\,}
和期望值
n
p
{\displaystyle \,np\,}
之間的差滿足
|
m
−
n
p
|
<
max
{
p
,
1
−
p
}
.
{\displaystyle |m-np|<\max\{p,1-p\}.}
若
p
>
ln
2
{\displaystyle \,p>\ln 2\,}
或
p
<
1
−
ln
2
{\displaystyle \,p<1-\ln 2\,}
，則該上界可進一步縮減為
|
m
−
n
p
|
<
ln
2.
{\displaystyle |m-np|<\ln 2.}
若
n
{\displaystyle \,n\,}
為奇數、
p
=
1
/
2
{\displaystyle \,p=1/2\,}
，則
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle \,(n-1)/2\,}
和
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \,(n+1)/2\,}
均為中位數。[16][17]
累積分布函數
編輯
二項式分布的累積分布函數和尾機率可以用正則化不完全貝塔函數表示為
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
⌊
k
⌋
,
⌊
k
⌋
+
1
)
,
{\displaystyle \Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,\lfloor k\rfloor +1),}
Pr
(
X
≥
k
)
=
I
p
(
⌈
k
⌉
,
n
−
⌈
k
⌉
+
1
)
.
{\displaystyle \Pr(X\geq k)=I_{p}(\lceil k\rceil ,n-\lceil k\rceil +1).}
[18]
動差
編輯
二項式分布的
r
{\displaystyle \,r\,}
階原動差滿足
μ
r
′
=
E
[
X
r
]
=
∑
j
=
0
r
S
(
r
,
j
)
n
!
p
j
(
n
−
j
)
!
,
{\displaystyle \mu '_{r}=E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{j}}{(n-j)!}},}
其中
S
(
r
,
j
)
{\displaystyle \,S(r,j)\,}
表示第二類（英語：Stirling numbers of the second kind）史特靈數。具體而言，
μ
1
′
=
n
p
,
{\displaystyle \mu '_{1}=np,}
μ
2
′
=
n
p
+
n
(
n
−
1
)
p
2
,
{\displaystyle \mu '_{2}=np+n(n-1)p^{2},}
μ
3
′
=
n
p
+
3
n
(
n
−
1
)
p
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
p
3
,
{\displaystyle \mu '_{3}=np+3n(n-1)p^{2}+n(n-1)(n-2)p^{3},}
μ
4
′
=
n
p
+
7
n
(
n
−
1
)
p
2
+
6
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
p
3
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
p
4
.
{\displaystyle \mu '_{4}=np+7n(n-1)p^{2}+6n(n-1)(n-2)p^{3}+n(n-1)(n-2)(n-3)p^{4}.}
其低階主動差為
μ
2
=
n
p
(
1
−
p
)
,
{\displaystyle \mu _{2}=np(1-p),}
μ
3
=
n
p
(
1
−
p
)
(
1
−
2
p
)
,
{\displaystyle \mu _{3}=np(1-p)(1-2p),}
μ
4
=
3
[
n
p
(
1
−
p
)
]
2
+
n
p
(
1
−
p
)
[
1
−
6
p
(
1
−
p
)
]
.
{\displaystyle \mu _{4}=3[np(1-p)]^{2}+np(1-p)[1-6p(1-p)].}
[19]
宽带连接651错误是什么意思？宽带连接651错误详解
怎么约女孩子出来见面？这样约妹子，十个妹子九个都会同意！