实对称矩阵的特征值均为实数，并且一定存在一组两两正交的特征向量
这对于单位矩阵显然成立
证明特征值均为实数：
设一个对称矩阵
A
A
A，对于
A
x
⃗
=
λ
x
⃗
A \vec{x} = \lambda \vec{x}
Ax
=λx
，依第
21
21
21讲的小技巧可知
A
x
⃗
‾
=
λ
‾
x
⃗
‾
A \overline{\vec{x}} = \overline{\lambda} \overline{\vec{x}}
Ax
=λx
左右一起转置可得
x
⃗
‾
T
A
T
=
λ
‾
x
⃗
‾
T
\overline{\vec{x}}^T A^T = \overline{\lambda} \overline{\vec{x}}^T
x
TAT=λx
T，利用对称性可得
x
⃗
‾
T
A
=
λ
‾
x
⃗
‾
T
\overline{\vec{x}}^T A = \overline{\lambda} \overline{\vec{x}}^T
x
TA=λx
T，左右一起左乘
x
⃗
\vec{x}
x
可得
x
⃗
‾
T
A
x
⃗
=
λ
‾
x
⃗
‾
T
x
⃗
\overline{\vec{x}}^T A \vec{x} = \overline{\lambda} \overline{\vec{x}}^T \vec{x}
x
TAx
=λx
Tx
而最初的等式左右一起右乘
x
⃗
‾
T
\overline{\vec{x}}^T
x
T可得
x
⃗
‾
T
A
x
⃗
=
λ
x
⃗
‾
T
x
⃗
\overline{\vec{x}}^T A \vec{x} = \lambda \overline{\vec{x}}^T \vec{x}
x
TAx
=λx
Tx
所以
λ
‾
x
⃗
‾
T
x
⃗
=
λ
x
⃗
‾
T
x
⃗
\overline{\lambda} \overline{\vec{x}}^T \vec{x} = \lambda \overline{\vec{x}}^T \vec{x}
λx
Tx
=λx
Tx
，因而若
x
⃗
‾
T
x
⃗
≠
0
\overline{\vec{x}}^T \vec{x} \ne 0
x
Tx
=0，则
λ
\lambda
λ为实数
下证
x
⃗
‾
T
x
⃗
≠
0
\overline{\vec{x}}^T \vec{x} \ne 0
x
Tx
=0
对于任意复数
x
=
a
+
b
i
x = a + bi
x=a+bi，有
x
‾
x
=
(
a
−
b
i
)
(
a
+
b
i
)
=
a
2
+
b
2
=
∣
x
∣
2
\overline{x} x = (a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2 = |x|^2
xx=(a−bi)(a+bi)=a2+b2=∣x∣2
所以
x
⃗
‾
T
x
⃗
=
[
x
1
‾
x
2
‾
⋯
x
n
‾
]
[
x
1
x
2
⋮
x
n
]
=
∣
x
1
∣
2
+
∣
x
2
∣
2
+
⋯
+
∣
x
n
∣
2
=
x
⃗
2
\overline{\vec{x}}^T \vec{x} = \begin{bmatrix} \overline{x_1} & \overline{x_2} & \cdots & \overline{x_n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = |x_1|^2 + |x_2|^2 + \cdots + |x_n|^2 = \vec{x}^2
x
Tx
=[x1x2⋯xn]
x1x2⋮xn
=∣x1∣2+∣x2∣2+⋯+∣xn∣2=x
2
又特征向量不可能是
0
⃗
\vec{0}
0
，所以
x
⃗
‾
T
x
⃗
>
0
\overline{\vec{x}}^T \vec{x} > 0
x
Tx
>0，因而
λ
\lambda
λ为实数
证明一定存在一组两两正交的特征向量：
暂时不会证明
\color{OrangeRed}暂时不会证明
暂时不会证明
可以注意到证明中关键的条件是
A
=
A
‾
A = \overline{A}
A=A，但是对于复矩阵，如果
A
=
A
‾
T
A = \overline{A}^T
A=AT，那么
x
⃗
‾
T
A
=
λ
‾
x
⃗
‾
T
\overline{\vec{x}}^T A = \overline{\lambda} \overline{\vec{x}}^T
x
TA=λx
T仍成立，特征值仍一定为实数且一定存在一组两两正交的特征向量，这样的复矩阵称为共轭对称矩阵
当
A
A
T
=
A
T
A
A A^T = A^T A
AAT=ATA时，方阵
A
A
A有阶数个两两正交的特征向量（可以是复向量）
证明：
暂时不会证明
\color{OrangeRed}暂时不会证明
暂时不会证明
正交矩阵有阶数个两两正交的特征向量
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